Géométrie Dans L'Espace

FORMULES

Formules Des Périmètre

Cercle : P = 2 x R x π
Rectangle : P = (L + l) x 2
Carrée : P = c x 4
Autre : P = additionner tout les cotés

 Formules D'Aires

Parallélogramme : A = b x h
Rectangle : A = L x l
Carré : A = c x c
Cercle : A = π x R²
Triangle : A = b x h
                              2
Trapèze : A = (L +l) x h
                                2
Aire Latérale Du Cylindre = 2 x π x R x h
Sprère : A = 4 x π x R²
Formules Des Volumes

Prisme Droit : V = B x h
Cylindre : V = π x R² x h
Pyramide : B x h
                       3
Cône : V = π x R² x h
                        3
Boule : V = 4 x π x R³
     3
 

PLAN DE SECTION

La section d'un prisme droit ou d'un cylindre par un plan parallèle à la base est identique à cette base.
Si elle est perpendiculaire à la base, c'est un rectangle.

La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base.

La section d'une sphère de centre O et de rayon R par un plan parallèle est :

- soit un cercle de centre I appartenant à la droite  [NS] passant par O et de rayon plus petit que R.

- soit un des grands cercle de la sphère, de rayon égale à R.

- soit l'unique point S. On dit que le plan est tangent à la sphère en S.

DEFINITION

Une shprère est un solide creux. Tout les points de la sphère reliés au centre sont des rayons.
Une boule est un solide plein. Tout les points de la boule reliés au centre (bord et intérieur) sont égale ou plus petit que le rayon.

COEFFICIENT DE REDUCTION

La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base mais les longueurs des cotés ou du rayon sont tous divisés par un même nombre appelé le coefficient de réduction.
On le déduit du théorème de Thalès.

/!\  toujours petit sur grand

Exemple avec la pyramide SABCD

SI = 6, SA = 8 et SB = 9


r = SI = SJ = SK = ...
    SA     SB    SC       


r = SI = 6 = 0.75
    SA      8            

trouvons [SJ]

SJ = SB ÷ r = 9 ÷ 0.75 = 6.75


Si un solide P est une réduction d'un solide G de coefficient r, alors :
longueur de P = longueur de G x r
aire de P = aire de G x r²
volume de P = volume de G x r³

THEOREME

Pythagore

Exemple avec le triangle ABC



•  AC = 3 et BC = 4

ABC est rectangle en C, d'après théorème de Pythagore :

AB² = AC² + BC²
AB² = 3² + 4²
AB² = 9 + 16
AB² = 25
AB = √25
AB = 5

• AB = 5 et AC = 3

ABC est rectangle en C, d'après théorème de Pythagore :

AB² = AC² + BC²
5² = 3² + BC²
25 = 9 + BC²
BC² = 25 - 9
BC² = 16
BC = √16
BC = 4

Thalès

Exemple avec les triangles ABC et AMN


AB = 4, BC = 9 et AM = 2

MN est parallèle à BC, d'après le théorème de Thalès :

AM = MN = AN
AB       BC      AC

  2 = MN 
6       9

MN = 2 x 9 = 18 = 3
        6          6

RAPPEL

Le contraire de l'addition "+" est la soustraction "-".
Le contraire de la multiplication "x" est la division "÷".
Le rayon est la moitié du diamètre. (Le diamètre est le double du rayon)


b = base
h = hauteur
B = aire de base
L = longueur
l = largeur
c = coté
R = rayon
π = pi
P = périmètre
A = aire
V = volume